Distanța dintre două puncte

Despre ce este lecția

Aceasta este prima formulă din tot cursul care transformă geometria în măsurare. Până acum știam să spunem unde se află un punct; de aici încolo știm să spunem cât de departe este de altul — folosind doar patru numere și operații aritmetice. Toate formulele metrice de mai târziu (lungimi de laturi, ecuația cercului, distanța de la punct la dreaptă) se sprijină pe ea.

1. Proprietatea 3⁰ — formula distanței

Fie $A(x_1;y_1)$ și $B(x_2;y_2)$ două puncte date în raport cu sistemul rectangular cartezian $(xOy)$.

După formula (5) din §10 avem $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$, iar după (11):

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}.$$

Conform definiției, $|\overrightarrow{AB}|=AB=\rho (A,B)$ este lungimea segmentului $AB$, deci distanța dintre $A$ și $B$.

Distanța dintre două puncte

$$\rho (A,B)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}\text{\hspace{1em}(12)}$$

fig. 1 — distanța ca ipotenuză a triunghiului dreptunghic cu catetele $x_2-x_1$ și $y_2-y_1$

Cum se citește figura — formula (12)

Pasul 1 — cele două puncte. Punctele violet $A(x_1;y_1)$ și $B(x_2;y_2)$ sunt datele problemei. Distanța căutată este lungimea săgeții violet dintre ele.

Pasul 2 — drumul „în trepte”. În loc să mergeți direct de la $A$ la $B$, mergeți întâi orizontal (săgeata albastră) și apoi vertical (săgeata portocalie). Cele două drumuri au același capăt — asta e relația lui Chasles, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$.

Pasul 3 — citiți lungimile treptelor. Deplasarea orizontală schimbă doar abscisa: lungimea ei este $|x_2-x_1|$. Cea verticală schimbă doar ordonata: lungimea ei este $|y_2-y_1|$.

Pasul 4 — unghiul drept. Marca din colțul $C$ arată că treapta orizontală e perpendiculară pe cea verticală. Aici — și numai aici — se folosește faptul că reperul e rectangular.

Pasul 5 — aplicați Pitagora. $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$. Extragerea radicalului dă (12).

Pe ce se bazează: formula (5) pentru $\overrightarrow{AB}$ și formula (11) pentru modul — adică, în fond, tot teorema lui Pitagora.

Ce să verificați singuri pe figură: schimbați între ele rolurile lui $A$ și $B$. Săgețile albastră și portocalie își schimbă sensul, dar lungimile lor nu se schimbă, fiindcă în formulă diferențele apar la pătrat. Deci $\rho (A,B)=\rho (B,A)$, așa cum trebuie să fie o distanță.

Pătratele fac ordinea indiferentă — nu și în formula (5)

În formula (5), $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$, ordinea contează: inversând-o obțineți vectorul opus. În formula (12) ordinea nu contează: $(x_2-x_1{)}^2=(x_1-x_2{)}^2$.

Un vector are sens; o distanță, nu.

Completare — trei verificări rapide că (12) e o distanță „cinstită"

O funcție merită numele de distanță dacă satisface trei condiții. Formula (12) le satisface pe toate:

1. Pozitivitate. $\rho (A,B)\ge 0$, fiindcă radicalul aritmetic dintr-o sumă de pătrate e nenegativ. Iar $\rho (A,B)=0$ doar când ambele pătrate sunt nule, adică $x_1=x_2$ și $y_1=y_2$, adică $A=B$.

2. Simetrie. $\rho (A,B)=\rho (B,A)$ — vezi mai sus.

3. Inegalitatea triunghiului. $\rho (A,C)\le \rho (A,B)+\rho (B,C)$: drumul direct nu e mai lung decât ocolul. Geometric este evident din regula triunghiului, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, și din $|\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}|$.

Caz particular util. Dacă $A=O$ (originea), atunci $\rho (O,M)=\sqrt{x^2+y^2}$ — adică exact modulul razei vectoare. Formula (12) o conține pe (11) ca situație particulară.

2. Exemplul 11.1 — laturile unui triunghi

Enunț

În raport cu sistemul rectangular cartezian de coordonate se dau punctele $A(-2;2)$, $B(2;6)$ și $C(10;-2)$. Determinați lungimile laturilor triunghiului $ABC$.

fig. 2 (după fig. 48 din manual) — triunghiul $ABC$ în rețeaua de coordonate, cu lungimile laturilor

Rezolvare. Aplicăm formula (12) pentru fiecare pereche de vârfuri:

$$\rho (A,B)=\sqrt{(2-(-2){)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2},$$ $$\rho (A,C)=\sqrt{(10-(-2){)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10},$$ $$\rho (B,C)=\sqrt{(10-2{)}^2+(-2-6{)}^2}=\sqrt{64+64}=8\sqrt{2}.$$

Prin urmare, lungimile laturilor triunghiului $ABC$ sunt

$$AB=4\sqrt{2},AC=4\sqrt{10},BC=8\sqrt{2}.$$

Pas cu pas — cum se face un asemenea calcul fără greșeli

Pasul 1 — scrieți diferențele separat, înainte de a le ridica la pătrat. Pentru $A(-2;2)$ și $B(2;6)$: $\Delta x=2-(-2)=4$, $\Delta y=6-2=4$. Aici se pierd cele mai multe puncte la examen — la semnul minus dinaintea unui număr negativ.

Pasul 2 — abia apoi ridicați la pătrat. $4^2+4^2=32$.

Pasul 3 — simplificați radicalul complet. $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$. Un răspuns lăsat ca $\sqrt{32}$ nu e greșit, dar nu permite comparația cu celelalte laturi.

Pasul 4 — verificați plauzibilitatea pe desen. Din figură se vede că $BC$ e cea mai lungă latură. Numeric: $BC=8\sqrt{2}\approx 11,31$, $AC=4\sqrt{10}\approx 12,65$, $AB=4\sqrt{2}\approx 5,66$. Deci de fapt $AC$ este cea mai lungă — verificați pe figură: $A$ și $C$ sunt într-adevăr cele mai depărtate.

Pasul 5 — verificarea finală prin inegalitatea triunghiului. $AB+BC=5,66+11,31=16,97>12,65=AC$. ✓ Dacă suma a două laturi ieșea mai mică decât a treia, undeva ar fi fost o greșeală de calcul.

Completare — ce fel de triunghi este $ABC$?

Manualul se oprește la lungimi. Merită continuat, fiindcă răspunsul se citește direct din ele.

Comparăm pătratele: $A{B}^2=32$, $B{C}^2=128$, $A{C}^2=160$. Observăm că

$$A{B}^2+B{C}^2=32+128=160=A{C}^2.$$

După reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, cu ipotenuza $AC$.

Același lucru se va putea verifica în §13 mult mai rapid, cu produsul scalar: $\overrightarrow{BA}=\{-4;-4\}$, $\overrightarrow{BC}=\{8;-8\}$, iar $(-4)\cdot 8+(-4)\cdot (-8)=-32+32=0$ ⇒ $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$ (vezi Ce nu se transferă de la numere. Aplicații).

Aria lui: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 8\sqrt{2}=32$.

Întrebări de control

1. De ce în formula (12) nu contează care punct îl numim $A$ și care $B$?
2. Ce devine formula (12) dacă $A$ coincide cu originea?
3. Punctele $M(a;b)$ și $N(b;a)$ — cât este $\rho (M,N)$? Ce reprezintă geometric?
4. Scrieți condiția ca punctul $M(x;y)$ să se afle la distanța $5$ de originea $O$. Ce figură descriu toate aceste puncte?
5. De ce formula (12) ar da un rezultat greșit într-un sistem afin cu axe oblice? Unde anume cade demonstrația?

Legături

• Anterior: Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector
• Continuare: Reperul polar. Coordonate polare
• Se sprijină pe: Coordonatele punctului. Raza vectoare, Modulul vectorului. Vectorul opus
• Concepte: Distanța dintre două puncte (formulă), Sistem rectangular cartezian