Trecerea între coordonate polare și carteziene

Despre ce este lecția

Același punct, două limbaje. Lecția dă dicționarul dintre ele: cum se traduce $(r;\phi )$ în $(x;y)$ și invers. Traducerea într-un sens este imediată; în celălalt sens apar capcane, fiindcă unghiul nu se lasă recuperat dintr-o singură funcție trigonometrică.

1. De la polare la carteziene

Fie $(r;\phi )$ coordonatele punctului $M$ în sistemul polar, iar $(x;y)$ — coordonatele aceluiași punct în sistemul rectangular cartezian asociat. Atunci

$$x=|\overrightarrow{OM}|\cos \phi =r\cos \phi ,y=r\sin \phi .$$

După aceste expresii se efectuează trecerea de la coordonatele polare ale unui punct la coordonatele carteziene rectangulare ale acestui punct.

fig. 1 (după fig. 50 din manual) — cele două sisteme suprapuse: $(r;\phi )$ și $(x;y)$ descriu același punct $M$

Cum se citește figura — formulele de trecere

Pasul 1 — observați suprapunerea. Polul $O$ este originea carteziană; axa polară este semiaxa pozitivă $(Ox)$. Cele două sisteme nu sunt alături — sunt suprapuse.

Pasul 2 — datele polare. Săgeata violet $\overrightarrow{OM}$ are lungimea $r$, iar unghiul ei cu $\vec{i}$ este $\phi$. Acestea sunt cele două numere de la care plecăm.

Pasul 3 — coborâți perpendicularele. Din $M$ se coboară pe $(Ox)$ în $M_1$ și pe $(Oy)$ în $M_2$. Segmentele $O{M}_1$ și $O{M}_2$ sunt $x$, respectiv $y$.

Pasul 4 — recunoașteți triunghiul dreptunghic $O{M}_{1}M$. Ipotenuza $OM=r$, unghiul de la $O$ este $\phi$. Deci cateta alăturată este $r\cos \phi$ și cea opusă $r\sin \phi$.

Pasul 5 — identificați formula deja cunoscută. Comparați cu formula (10) din §11: acolo scria $x=|\vec{a}|\cos \phi$, $y=|\vec{a}|\sin \phi$. Aici $\vec{a}$ este raza vectoare $\overrightarrow{OM}$ și $|\vec{a}|=r$. Nu e o formulă nouă — e formula (10) citită cu alte litere.

Pe ce se bazează: formula (10) din §11 și faptul că $r=|\overrightarrow{OM}|$ prin definiția razei polare.

Ce să verificați singuri pe figură: luați $\phi$ puțin mai mare de $90°$. $M_1$ trece de partea negativă a axei, deci $x<0$ — și într-adevăr $\cos \phi <0$ acolo. Semnele se corectează singure.

2. De la carteziene la polare

Din aceleași expresii obținem:

a) $x^2+y^2=r^2$, deci

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\text{unde }r=|\overrightarrow{OM}|>0;$$

b)

$$\cos \phi =\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin \phi =\frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

Pe baza acestor expresii se determină univoc coordonatele polare ale punctului, dacă se cunosc coordonatele lui în raport cu sistemul rectangular cartezian introdus în modul arătat mai sus.

De ce manualul dă două formule pentru unghi, nu una

Ar fi fost mai scurt să se scrie $\mathrm{tg}\phi =y/x$. Ar fi fost însă insuficient: tangenta are perioada $\pi$, deci nu distinge un punct de simetricul lui față de origine. Punctele $(1;1)$ și $(-1;-1)$ au aceeași tangentă, dar unghiuri polare $\pi /4$ și $5\pi /4$.

Perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$ determină însă unghiul fără ambiguitate pe $[0;2\pi )$: cosinusul alege între stânga și dreapta, sinusul alege între sus și jos — împreună aleg cadranul.

Exemplu. $M(-1;-1)$: $r=\sqrt{2}$, $\cos \phi =-1/\sqrt{2}$, $\sin \phi =-1/\sqrt{2}$ ⇒ ambele negative ⇒ cadranul III ⇒ $\phi =5\pi /4$. Cu tangenta singură ați fi obținut $\pi /4$, adică punctul greșit.

Cazul $r=0$

Formulele de la b) au $r$ la numitor. Pentru polul $O$ avem $r=0$ și ele își pierd sensul — ceea ce era de așteptat: unghiul polar al polului nici nu există. De aceea scrierea $r>0$ de la punctul a) trebuie citită ca „pentru orice punct diferit de pol”.

Dicționarul complet

De la	La	Formule	Atenție la
$(r;\phi )$	$(x;y)$	$x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$	nimic — trecerea e directă
$(x;y)$	$(r;\phi )$	$r=\sqrt{x^2+y^2}$; $\cos \phi =x/r$, $\sin \phi =y/r$	cadranul; cazul $r=0$

3. Exemplul 12.1 — distanța dintre două puncte date polar

Enunț

În sistemul polar de coordonate sunt date punctele $A\left(5;\frac{\pi }{4}\right)$ și $B\left(8;\frac{\pi }{3}\right)$. Calculați distanța dintre punctele date.

Rezolvare. Vom aplica formulele $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$. Atunci

$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}=\sqrt{(r_2\cos {\phi }_2-r_1\cos {\phi }_1{)}^2+(r_2\sin {\phi }_2-r_1\sin {\phi }_1{)}^2}=$$ $$=\sqrt{{\left(8\cos \frac{\pi }{3}-5\cos \frac{\pi }{4}\right)}^2+{\left(8\sin \frac{\pi }{3}-5\sin \frac{\pi }{4}\right)}^2}=\sqrt{{\left(8\cdot \frac{1}{2}-5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=$$ $$=\sqrt{{\left(4-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{57}{2}-20\sqrt{2}+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{141}{4}-20\sqrt{2}}.$$

Pas cu pas — desfacerea calculului

Manualul comprimă trei rânduri de calcul într-unul singur. Iată-le desfăcute.

Pasul 1 — treceți fiecare punct în carteziene. $A$: $x_1=5\cos \frac{\pi }{4}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $y_1=5\sin \frac{\pi }{4}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ (firesc — $\phi =45°$ dă $x=y$). $B$: $x_2=8\cos \frac{\pi }{3}=4$, $y_2=8\sin \frac{\pi }{3}=4\sqrt{3}$.

Pasul 2 — prima paranteză, la pătrat.

$${\left(4-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2=16-2\cdot 4\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{25\cdot 2}{4}=16-20\sqrt{2}+\frac{25}{2}.$$

Deci $16+12,5=28,5=\frac{57}{2}$, minus $20\sqrt{2}$. Aici apare termenul $\frac{57}{2}-20\sqrt{2}$ din manual.

Pasul 3 — a doua paranteză. Cei doi termeni au radicali diferiți ($\sqrt{3}$ și $\sqrt{2}$), deci nu se poate da factor comun; se ridică direct la pătrat:

$${\left(4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2=48-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{25}{2}=48-20\sqrt{6}+12,5=\frac{121}{2}-20\sqrt{6}.$$

Pasul 4 — adunați. $\frac{57}{2}+\frac{121}{2}=89$, iar termenii cu radical rămân separați:

$$|AB|=\sqrt{89-20\sqrt{2}-20\sqrt{6}}.$$

Pasul 5 — valoarea numerică. $20\sqrt{2}\approx 28,284$, $20\sqrt{6}\approx 48,990$, deci

$$|AB|\approx \sqrt{89-77,274}=\sqrt{11,726}\approx 3,42.$$

Plauzibil: $A$ și $B$ sunt la $5$ și $8$ unități de pol, pe direcții apropiate ($45°$ și $60°$), deci distanța dintre ele trebuie să fie ceva mai mare decât diferența razelor, $8-5=3$. ✓

Ce diferă de manual: vezi avertismentul de mai jos — manualul obține $\sqrt{\frac{141}{4}-20\sqrt{2}}\approx 2,64$, valoare care ar fi mai mică decât diferența razelor, deci imposibilă.

Eroare de tipar în exemplul 12.1

La rândul al doilea al calculului, manualul scrie în a doua paranteză $8\sin \frac{\pi }{3}-5\sin \frac{\pi }{4}=4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{2}}{2}$, dar în rândul următor tratează termenul ca și cum ar fi $4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (numai așa se obține $\frac{27}{4}$). Valoarea corectă, cu $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, este:

$${\left(4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2=48-20\sqrt{6}+\frac{25}{2}=\frac{121}{2}-20\sqrt{6}.$$

Adunând cu prima paranteză, $\frac{57}{2}-20\sqrt{2}$, distanța corectă este

$$|AB|=\sqrt{89-20\sqrt{2}-20\sqrt{6}}\approx \sqrt{89-28,284-48,990}=\sqrt{11,726}\approx 3,42.$$

Verificare independentă, prin teorema cosinusului. În triunghiul $OAB$: $OA=5$, $OB=8$, iar unghiul dintre ele este $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}=15°$. Atunci

$$A{B}^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cos 15°=89-80\cos 15°.$$

Cum $\cos 15°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, avem $80\cos 15°=20(\sqrt{6}+\sqrt{2})=20\sqrt{6}+20\sqrt{2}$ — exact rezultatul de mai sus. ✓ Numeric: $89-80\cdot 0,96593=11,726$, deci $AB\approx 3,42$.

Completare — formula directă a distanței în coordonate polare

Calculul de mai sus, făcut cu litere, dă o formulă care merită reținută:

$$\rho (A,B)=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)}.$$

De unde vine. Este teorema cosinusului în triunghiul $OAB$: laturile $OA=r_1$ și $OB=r_2$, iar unghiul dintre ele este chiar diferența unghiurilor polare, ${\phi }_2-{\phi }_1$.

Verificare pe exemplul 12.1. $r_1=5$, $r_2=8$, ${\phi }_2-{\phi }_1=\frac{\pi }{12}$:

$$\rho =\sqrt{25+64-80\cos 15°}\approx 3,42.✓$$

Folosind-o, exemplul se rezolvă într-un singur rând, fără trecerea prin coordonate carteziene.

Întrebări de control

1. De ce nu este suficientă formula $\mathrm{tg}\phi =y/x$ pentru a determina unghiul polar?
2. Treceți punctul $M(0;-4)$ în coordonate polare. Ce valoare are $\phi$?
3. Ce ecuație are, în coordonate polare, cercul de rază $R$ cu centrul în pol? Dar în coordonate carteziene?
4. Arătați că formula $\rho (A,B)=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)}$ se reduce la $|r_2-r_1|$ atunci când ${\phi }_1={\phi }_2$. De ce era de așteptat?
5. Ce se întâmplă cu formulele de la punctul b) dacă punctul dat este chiar polul?

Legături

• Anterior: Reperul polar. Coordonate polare
• Continuare: Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate
• Se sprijină pe: Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector, Distanța dintre două puncte
• Concepte: Coordonate polare, Distanța dintre două puncte (formulă)