Produsul scalar — definiție și interpretare

Despre ce este lecția

Până acum am avut două operații cu vectori: adunarea (vector + vector = vector) și înmulțirea cu un număr (număr · vector = vector). Amândouă produc vectori.

Produsul scalar este prima operație care ia doi vectori și produce un număr. Tocmai de aceea este atât de utilă: numărul rezultat conține simultan informație despre lungimi și despre unghi — adică exact mărimile metrice pe care §11 le-a făcut calculabile.

1. Definiția

Definiția 13.1

Se numește produs scalar a doi vectori numărul egal cu produsul lungimilor acestor vectori la cosinusul măsurii unghiului dintre ei. Produsul scalar a doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ se notează prin $(\vec{a},\vec{b})$.

Conform definiției 13.1 avem:

$$(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \phi \text{\hspace{1em}(1)}$$

unde $\phi =\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$.

Notația $(\vec{a},\vec{b})$ — atenție la confuzie

Aceeași pereche de paranteze rotunde se folosește în curs pentru trei lucruri diferite:

Scriere	Ce este
$M(x;y)$	coordonatele unui punct (cu punct-virgulă)
$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$	unghiul dintre doi vectori (cu accent circumflex)
$(\vec{a},\vec{b})$	produsul scalar — un număr

Alte manuale scriu produsul scalar $\vec{a}\cdot \vec{b}$ sau $⟨\vec{a},\vec{b}⟩$. Aici păstrăm notația manualului.

2. Ce citim din semnul produsului scalar

Modulele $|\vec{a}|$ și $|\vec{b}|$ sunt mereu pozitive (pentru vectori nenuli), deci semnul produsului scalar este semnul lui $\cos \phi$.

fig. 1 — cele trei situații: unghi ascuțit, drept și obtuz

Cum se citește figura — semnul produsului scalar

Pasul 1 — priviți doar unghiul. În toate trei panourile vectorul albastru $\vec{a}$ este același, orizontal. Se schimbă doar direcția lui $\vec{b}$ (portocaliu).

Pasul 2 — panoul stâng, unghi ascuțit. $\alpha <90°$ ⇒ $\cos \alpha >0$ ⇒ $(\vec{a},\vec{b})>0$. Urmăriți săgeata verde de pe axa orizontală: este proiecția lui $\vec{b}$ pe direcția lui $\vec{a}$, și arată în același sens cu $\vec{a}$.

Pasul 3 — panoul din mijloc, unghi drept. $\alpha =90°$ ⇒ $\cos \alpha =0$ ⇒ $(\vec{a},\vec{b})=0$. Proiecția verde s-a redus la un punct: $\vec{b}$ nu are nicio componentă pe direcția lui $\vec{a}$.

Pasul 4 — panoul drept, unghi obtuz. $\alpha >90°$ ⇒ $\cos \alpha <0$ ⇒ $(\vec{a},\vec{b})<0$. Proiecția verde arată acum în sens opus lui $\vec{a}$.

Pasul 5 — formulați regula. $(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}|\cdot (|\vec{b}|\cos \alpha )$, iar paranteza este exact proiecția algebrică a lui $\vec{b}$ pe direcția lui $\vec{a}$. Produsul scalar măsoară cât din $\vec{b}$ merge în direcția lui $\vec{a}$, amplificat cu lungimea lui $\vec{a}$.

Pe ce se bazează: formula (1), semnul funcției cosinus pe $[0;\pi ]$ și proiecția algebrică din §10.

Ce să verificați singuri pe figură: rotiți mental $\vec{b}$ continuu de la $0°$ la $180°$. Proiecția verde se scurtează, trece prin zero exact la $90°$, apoi crește în sens invers. Produsul scalar face același drum: de la $+|\vec{a}||\vec{b}|$, prin $0$, la $-|\vec{a}||\vec{b}|$.

Criteriul de perpendicularitate

Din formula (1) conchidem:

$$(\vec{a},\vec{b})=0⟺\vec{a}\perp \vec{b}.$$

Aceasta este proprietatea cea mai folosită a produsului scalar: perpendicularitatea, o proprietate geometrică, devine o ecuație.

Pas cu pas — de ce criteriul funcționează în ambele sensuri

Sensul „⇐”. Dacă $\vec{a}\perp \vec{b}$, atunci $\phi =\pi /2$, deci $\cos \phi =0$, deci produsul (1) este nul. Convenția pentru vectorul nul face ca și cazul $\vec{a}=\vec{0}$ să intre aici.

Sensul „⇒”. Fie $(\vec{a},\vec{b})=0$, adică $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \phi =0$. Un produs de trei numere reale e nul doar dacă unul dintre ele e nul. Deci:

• sau $|\vec{a}|=0$, adică $\vec{a}=\vec{0}$ — și atunci $\vec{a}\perp \vec{b}$ prin convenție;
• sau $|\vec{b}|=0$ — la fel;
• sau $\cos \phi =0$, iar pe intervalul $[0;\pi ]$ singura soluție este $\phi =\pi /2$, adică $\vec{a}\perp \vec{b}$.

Unde intervine convenția. Exact în primele două cazuri. Fără ea, criteriul ar fi trebuit enunțat: „$(\vec{a},\vec{b})=0$ dacă și numai dacă $\vec{a}\perp \vec{b}$ sau unul dintre vectori este nul”. Vedeți acum de ce convenția merită plătită.

Unde intervine restricția $\phi \in [0;\pi ]$. Pe un interval mai larg, $\cos \phi =0$ ar avea și soluția $3\pi /2$. Unghiul dintre vectori fiind neorientat, acest caz nu apare.

3. Pătratul scalar

De asemenea, din formula (1) rezultă că

$$(\vec{a},\vec{a})=|\vec{a}{|}^2,$$

deoarece unghiul unui vector cu el însuși este $0$, iar $\cos 0=1$.

Definiție

Numărul $(\vec{a},\vec{a})$ se numește pătratul scalar al vectorului $\vec{a}$ și se notează ${\vec{a}}^2$.

Prin urmare,

$$|\vec{a}|=\sqrt{{\vec{a}}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

De ce e importantă formula (2)

Ea spune că modulul se exprimă prin produsul scalar. Altfel spus: dacă știi să calculezi produse scalare, știi să calculezi lungimi — și, prin formula (1), și unghiuri.

Produsul scalar este deci singura structură suplimentară de care are nevoie un spațiu vectorial ca să devină „spațiu în care se pot măsura lucruri”. Toată geometria metrică a planului încape în această unică operație.

${\vec{a}}^2$ este un număr, nu un vector

Notația ${\vec{a}}^2$ poate induce în eroare. Ea nu înseamnă „vectorul $\vec{a}$ înmulțit cu el însuși ca vector” — o asemenea operație nu a fost definită. Este pur și simplu o prescurtare pentru numărul $(\vec{a},\vec{a})$.

Din același motiv, o scriere ca ${\vec{a}}^3$ nu are sens: ${\vec{a}}^2$ fiind un număr, nu se mai poate înmulți scalar cu $\vec{a}$.

4. Exemplul 13.2 — lucrul mecanic

Produsul scalar a doi vectori are o largă aplicație în diferite compartimente ale fizicii, în particular, în mecanică.

Enunț

Fie un punct material $M$ sub acțiunea unei forțe $\vec{F}$ s-a deplasat din punctul $M_1$ în punctul $M_2$ pe un drum rectiliniu. Din cursul de fizică se cunoaște că lucrul $A$ efectuat de către forța $\vec{F}$ la o astfel de deplasare se calculează după formula

$$A=|\vec{F}|\cdot |\overrightarrow{M_1{M}_2}|\cdot \cos \phi ,$$

unde $\phi$ este măsura unghiului dintre vectorii $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ și $\vec{F}$.

Din această formulă urmează că

$$A=(\vec{F},\overrightarrow{M_1{M}_2}).$$

Concluzie

Lucrul efectuat de o forță constantă $\vec{F}$, ce acționează asupra unui punct material la deplasarea rectilinie $\overrightarrow{M_1{M}_2}$, este egal cu produsul scalar al vectorilor $\vec{F}$ și $\overrightarrow{M_1{M}_2}$.

fig. 2 — forța $\vec{F}$, deplasarea $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ și componenta utilă $|\vec{F}|\cos \phi$

Cum se citește figura — interpretarea fizică

Pasul 1 — deplasarea. Săgeata violet orizontală, de la $M_1$ la $M_2$: drumul efectiv parcurs de punctul material.

Pasul 2 — forța. Săgeata albastră oblică $\vec{F}$: ea trage punctul „pieziș”, nu exact pe direcția de mers.

Pasul 3 — descompuneți forța. Segmentul punctat vertical arată că $\vec{F}$ se poate descompune în două componente: una de-a lungul deplasării, de lungime $|\vec{F}|\cos \phi$ (marcată verde), și una perpendiculară pe ea.

Pasul 4 — întrebați-vă care componentă lucrează. Componenta perpendiculară nu deplasează punctul în direcția în care el chiar merge: contribuția ei la lucru este zero. Numai componenta verde contează.

Pasul 5 — citiți formula. Lucrul = (componenta utilă a forței) × (distanța parcursă) $=|\vec{F}|\cos \phi \cdot |\overrightarrow{M_1{M}_2}|$ — exact formula (1). Produsul scalar este lucrul mecanic.

Pe ce se bazează: formula (1) și descompunerea unui vector în componente perpendiculare (§11).

Ce să verificați singuri pe figură: înclinați mental $\vec{F}$ până ajunge vertical, perpendicular pe deplasare. Componenta verde dispare ⇒ $A=0$. Este cazul unui om care duce o valiză pe orizontală: forța cu care o ține este verticală, deci nu efectuează lucru mecanic, oricât de obosit ar fi.

Completare — de ce semnul lucrului are înțeles fizic

Semnul produsului scalar, discutat abstract în secțiunea 2, capătă aici sens concret:

Unghi	$A$	Situație fizică
$\phi <90°$	$A>0$	forța ajută mișcarea (motorul unei mașini care accelerează)
$\phi =90°$	$A=0$	forța nu lucrează (forța centripetă pe o orbită circulară; portanța unei valize)
$\phi >90°$	$A<0$	forța se opune mișcării (frecarea, frâna)

Acesta este un bun test al intuiției: dacă un rezultat de produs scalar iese negativ, întrebați-vă „ce împinge invers?”.

Întrebări de control

1. De ce produsul scalar a doi vectori nu este un vector? Ce informație geometrică conține numărul obținut?
2. Cât este $(\vec{a},\vec{a})$ dacă $|\vec{a}|=7$? Dar $(\vec{a},-\vec{a})$?
3. Are sens scrierea ${\vec{a}}^3$? Argumentați.
4. Doi vectori nenuli au produsul scalar $0$. Ce puteți spune despre ei? Dar dacă unul dintre ei este nul?
5. Un om urcă o ladă pe o rampă înclinată, trăgând cu o frânghie paralelă cu rampa. Care componentă a greutății efectuează lucru negativ?

Legături

• Anterior: Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate
• Continuare: Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate
• Se sprijină pe: Modulul vectorului. Vectorul opus, Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice
• Concepte: Produs scalar, Pătrat scalar, Unghiul dintre doi vectori