Baza ortonormată în V₃. Lungimea vectorului

Despre ce este lecția

Ca în plan (§11), o bază oarecare permite calcule cu vectori, dar nu lungimi. Pentru probleme metrice — lungimi de segmente, mărimi de unghiuri — se folosesc bazele ortonormate. În ele lungimea unui vector se calculează din coordonate cu o formulă care e teorema lui Pitagora aplicată de două ori.

1. Baza ortonormată

La rezolvarea problemelor cu caracter metric, adică a problemelor legate de lungimile segmentelor sau mărimilor unghiurilor, se folosesc bazele ortonormate.

Definiția 16.7

Baza ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$, ${\vec{e}}_3$ se numește ortonormată, dacă acești vectori sunt unitari și reciproc perpendiculari.

De obicei vectorii bazei ortonormate se notează corespunzător prin $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$.

fig. 1 (după fig. 61–62 din manual) — baza ortonormată: trei vectori de lungime 1, perpendiculari doi câte doi

Cum se citește figura — baza ortonormată

Pasul 1 — trei direcții. $\vec{i}$ spre privitor, $\vec{j}$ la dreapta, $\vec{k}$ în sus — ca muchiile unui colț de cameră.

Pasul 2 — perpendicularitatea. Marcajele din $O$ arată cele trei unghiuri drepte: $\vec{i}\perp \vec{j}$, $\vec{j}\perp \vec{k}$, $\vec{i}\perp \vec{k}$. Pe hârtie unghiul dintre $\vec{i}$ și $\vec{j}$ nu pare drept: figura e o proiecție a spațiului pe plan, care deformează unghiurile din „adâncime”.

Pasul 3 — lungimile egale. Toate trei sunt unitari. Din același motiv al proiecției, $\vec{i}$ apare mai scurt — e „micșorat de perspectivă”.

Pe ce se bazează: definiția 16.7.

Ce să verificați singuri pe figură: câte perechi de vectori perpendiculari trebuie verificate pentru o bază din trei vectori? (Răspuns: trei — $\{\vec{i},\vec{j}\}$, $\{\vec{j},\vec{k}\}$, $\{\vec{i},\vec{k}\}$.)

Cele două figuri ale manualului desenează baza diferit

Fig. 61 așază $\vec{i}$ la dreapta și $\vec{j}$ spre privitor; fig. 62 face invers ($\vec{i}$ spre privitor, $\vec{j}$ la dreapta). În paragraful acesta orientarea bazei nu intervine, deci ambele sunt corecte. Pentru orientarea în spațiu, convenția obișnuită e cea din fig. 62 (regula mâinii drepte), folosită și în figurile de aici.

2. Teorema 16.8 — lungimea vectorului

Teorema 16.8

Lungimea vectorului $\vec{a}(a_1,a_2,a_3)$, determinat într-o bază ortonormată $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ se calculează după formula:

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\text{\hspace{1em}(5)}$$

Demonstrație. Să demonstrăm teorema la început pentru $a_1\ne 0$, $a_2\ne 0$ și $a_3\ne 0$. Dintr-un punct arbitrar $O$ al spațiului depunem următorii vectori $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{O{E}_1}=\vec{i}$, $\overrightarrow{O{E}_2}=\vec{j}$, $\overrightarrow{O{E}_3}=\vec{k}$ și construim paralelipipedul așa cum este indicat în figura 62.

După regula poligonului

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{A_1{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{O{A}_3}.$$

Însă $\overrightarrow{O{A}_1}\parallel \vec{i}$ și deci $\overrightarrow{O{A}_1}=\alpha \vec{i}$. Analogic $\overrightarrow{O{A}_2}=\beta \vec{j}$, $\overrightarrow{O{A}_3}=\gamma \vec{k}$ și prin urmare $\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ sau $\vec{a}=\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$. Așadar, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sunt coordonatele vectorului $\vec{a}$ și deci $\alpha =a_1$, $\beta =a_2$, $\gamma =a_3$. Prin urmare,

$$\overrightarrow{O{A}_1}=a_1\vec{i},\overrightarrow{O{A}_2}=a_2\vec{j},\overrightarrow{O{A}_3}=a_3\vec{k}.$$

Dar atunci $O{A}_1=|a_1|$, $O{A}_2=|a_2|$, $O{A}_3=|a_3|$.

După cum se știe, pătratul diagonalei paralelipipedului dreptunghic este egal cu suma pătratelor dimensiunilor lui: $O{A}^2=O{A}_1^2+O{A}_2^2+O{A}_3^2$. Din ultima egalitate obținem:

$$|\vec{a}{|}^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2,$$

adică formula (5).

fig. 2 (după fig. 62 din manual) — diagonala paralelipipedului dreptunghic, calculată în doi pași de Pitagora

Cum se citește figura — de ce „pătratul diagonalei e suma pătratelor dimensiunilor"

Manualul citează această proprietate ca „se știe”. Figura arată de unde vine.

Pasul 1 — paralelipipedul. Muchiile din $O$ sunt $\overrightarrow{O{A}_1}=a_1\vec{i}$ (albastru), $\overrightarrow{O{A}_2}=a_2\vec{j}$ (portocaliu), $\overrightarrow{O{A}_3}=a_3\vec{k}$ (verde). Fiind pe direcții perpendiculare, paralelipipedul e dreptunghic.

Pasul 2 — primul triunghi (verde, pe fundul cutiei). $O$, $A_1$ și $A^{\prime }$ — colțul de jos de sub $A$. Unghiul din $A_1$ e drept (muchiile fundului sunt perpendiculare). Pitagora: $O{A}^{\prime 2}=O{A}_1^2+A_1{A}^{\prime 2}=a_1^2+a_2^2$.

Pasul 3 — al doilea triunghi (violet, vertical). $O$, $A^{\prime }$ și $A$. Muchia $A^{\prime }A$ e verticală, deci perpendiculară pe tot fundul, în particular pe $O{A}^{\prime }$: unghiul din $A^{\prime }$ e drept. Pitagora: $O{A}^2=O{A}^{\prime 2}+A^{\prime }{A}^2=(a_1^2+a_2^2)+a_3^2$.

Pasul 4 — concluzia. $|\vec{a}{|}^2=O{A}^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$. Pătratele fac semnele coordonatelor indiferente.

Pe ce se bazează: definiția 16.7 (unghiurile drepte), teorema 16.1 (coordonatele) și teorema lui Pitagora, aplicată de două ori.

Ce să verificați singuri pe figură: pentru $\vec{a}=\{1;2;2\}$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{5}$, iar $OA=\sqrt{5+4}=3$. Un vector cu coordonate întregi și lungime întreagă.

O scăpare în demonstrația din manual: $O{A}_1=a_1$

Manualul scrie „Dar atunci $O{A}_1=a_1$, $O{A}_2=a_2$, $O{A}_3=a_3$”. Lungimile sunt pozitive, coordonatele pot fi negative: corect este $O{A}_1=|a_1|$ (fiindcă $|\overrightarrow{O{A}_1}|=|a_1|\cdot |\vec{i}|$). Concluzia nu e afectată — în formulă apar doar pătratele, iar $|a_1{|}^2=a_1^2$.

Cazul în care unele coordonate sunt nule

Formula (5) rămâne în vigoare și în cazul când unele coordonate ale vectorului $\vec{a}$ sunt egale cu zero. Fie, de exemplu, $a_2=0$ și $a_3=0$. Atunci $\vec{a}=a_1\vec{i}$, de unde $|\vec{a}|=|a_1|\cdot |\vec{i}|=|a_1|$ sau $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+0+0}$.

Dacă însă o coordonată a vectorului este egală cu zero, iar celelalte două sunt diferite de zero, de exemplu: $a_3=0$, $a_1\ne 0$, $a_2\ne 0$, atunci în construcția precedentă punctele $A$ și $A^{\prime }$ coincid. Patrulaterul $O{A}_{1}A{A}_2$ este un dreptunghi și prin urmare, $O{A}^2=O{A}_1^2+O{A}_2^2$. Din ultima egalitate, avem: $|\vec{a}{|}^2=a_1^2+a_2^2$ sau $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+0}$. Teorema 16.8 este demonstrată. $■$

fig. 3 (după fig. 63 din manual) — cazul $a_3=0$: paralelipipedul se turtește într-un dreptunghi

Cum se citește figura — cazul $a_3=0$

Pasul 1 — ce dispare. Fără componentă pe $\vec{k}$, punctul $A$ nu mai urcă: el coincide cu $A^{\prime }$, colțul fundului.

Pasul 2 — ce rămâne. Dreptunghiul $O{A}_{1}A{A}_2$ în planul lui $\vec{i}$ și $\vec{j}$. E exact situația din plan, §11.

Pasul 3 — un singur Pitagora. $O{A}^2=a_1^2+a_2^2$ — formula (11) din §11 e un caz particular al formulei (5).

Pe ce se bazează: aceleași argumente, cu un pas mai puțin.

Ce să verificați singuri pe figură: de ce manualul tratează separat cazurile cu zerouri? (Răspuns: construcția cu paralelipipedul „degenerează” — unele muchii au lungime 0 și triunghiurile din demonstrație nu mai există. Formula rămâne adevărată, dar argumentul trebuie adaptat.)

Completare — distanța dintre două puncte în spațiu

Manualul nu o enunță în §16, dar rezultă imediat, ca în §11: pentru $A(x_1;y_1;z_1)$ și $B(x_2;y_2;z_2)$ într-un reper ortonormat, $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\}$ și

$$\rho (A,B)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}.$$

Exemplu: $A(1;0;2)$, $B(3;2;1)$: $\rho =\sqrt{4+4+1}=3$.

Rezumat

Formulă	Condiție
$\vec{a}=a_1{\vec{e}}_1+a_2{\vec{e}}_2+a_3{\vec{e}}_3$	orice bază
operații coordonată cu coordonată	orice bază
$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$	numai bază ortonormată

Întrebări de control

1. De ce formula (5) e falsă într-o bază oarecare din $V_3$? Construiți un contraexemplu cu ${\vec{e}}_1=2\vec{i}$.
2. Calculați lungimea vectorului $\{2;-3;6\}$.
3. Arătați că $\{\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\}$ este un vector unitar.
4. Care sunt cele două triunghiuri dreptunghice folosite în demonstrație? Unde e unghiul drept în fiecare?
5. Cum se obține formula (11) din §11 ca un caz particular al formulei (5)?

Legături

• Anterior: Coordonatele vectorului în spațiul V3
• Continuare: Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte (§17–§19 — probleme — nu sunt conspectate)
• Se sprijină pe: Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector, Modulul vectorului. Vectorul opus
• Concepte: Spațiul V3, Bază ortonormată, Modulul vectorului