Aria triunghiului în coordonate

Despre ce este lecția

Formula $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ din școală cere două laturi și unghiul dintre ele — lucruri pe care trebuie să le măsori. Combinată cu formula sinusului din lecția precedentă, ea devine o formulă care cere doar coordonatele celor trei vârfuri: un determinant de ordinul 2.

Bonus neașteptat: determinantul are semn, iar semnul spune în ce sens sunt enumerate vârfurile.

1. Exemplul 14.4 — formula ariei

Enunț

Fie în raport cu un sistem rectangular cartezian de coordonate dat triunghiul $ABC$, unde $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ și $C(x_3;y_3)$. Calculați aria acestui triunghi.

Rezolvare. Se știe că

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |AC|\cdot \sin \hat{A}$$

sau

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \sin \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}\text{\hspace{1em}(7)}$$

fig. 1 (după fig. 54 din manual) — înălțimea din $C$ este $|AC|\sin \hat{A}$; aria = ½ · bază · înălțime

Cum se citește figura — de unde vine $\frac{1}{2}|AB||AC|\sin \hat{A}$

Pasul 1 — alegeți baza. Latura $AB$ (albastru), de lungime $|AB|$.

Pasul 2 — duceți înălțimea. Din $C$, perpendiculara pe $AB$ (verde, punctată). Unghiul drept arată că e chiar înălțimea.

Pasul 3 — exprimați înălțimea prin unghiul $\hat{A}$. În triunghiul dreptunghic format de $A$, $C$ și piciorul înălțimii, ipotenuza este $|AC|$ (portocaliu), iar înălțimea e cateta opusă unghiului $\hat{A}$. Deci $h=|AC|\sin \hat{A}$.

Pasul 4 — aplicați formula din școală. $S=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h=\frac{1}{2}|AB||AC|\sin \hat{A}$.

Pe ce se bazează: aria triunghiului ca jumătate din produsul bazei cu înălțimea și definiția sinusului în triunghiul dreptunghic.

Ce să verificați singuri pe figură: dacă $\hat{A}$ ar fi obtuz, piciorul înălțimii ar cădea în afara laturii $AB$. Formula rămâne adevărată, fiindcă $\sin (180°-\hat{A})=\sin \hat{A}$.

Deoarece în cazul dat

$$\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}\text{și}\overrightarrow{AC}=\{x_3-x_1;y_3-y_1\},$$

atunci, folosind (5), obținem:

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \frac{(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}$$

sau

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& y_2-y_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(8)}$$

Pas cu pas — de la (7) la (8)

Pasul 1 — scrieți vectorii laturilor din $A$. $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$, $\overrightarrow{AC}=\{x_3-x_1;y_3-y_1\}$ (regula extremitate minus origine).

Pasul 2 — luați sinusul din (5), cu $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ și $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$:

$$\sin \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}=\frac{(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}.$$

Pasul 3 — înlocuiți în (7). Produsul modulelor apare o dată în față și o dată la numitor — se simplifică. Rămâne doar numărătorul, înmulțit cu $\frac{1}{2}$.

Pasul 4 — recunoașteți determinantul. Numărătorul are forma $ad-bc$, deci este determinantul matricei cu rândurile $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.

Ce s-a câștigat. Nicio rădăcină, nicio funcție trigonometrică — patru diferențe, două înmulțiri, o scădere. Modulele, care cereau radicali, au dispărut cu totul.

Pasul de la $\sin \hat{A}$ la $\sin \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}$ schimbă sensul formulei

Manualul scrie „sau” între cele două formule, ca și cum ar fi aceeași. Nu sunt.

• $\sin \hat{A}$ — unghiul interior al triunghiului, între $0$ și $\pi$ ⇒ $\sin \hat{A}>0$ ⇒ aria e pozitivă.
• $\sin \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}$ — unghiul orientat ⇒ sinusul poate fi negativ.

Cele două coincid doar când $\overrightarrow{AC}$ se obține din $\overrightarrow{AB}$ prin rotație contrar acelor. Altfel diferă prin semn. De aceea (7) și (8) nu mai dau „aria” obișnuită, ci aria orientată — un număr cu semn. Manualul o spune abia după formula (8).

2. Aria orientată și aria obișnuită

După (8) se calculează aria triunghiului orientat. Se va obține $S_{\Delta ABC}>0$, dacă $\Delta ABC$ este orientat pozitiv, și $S_{\Delta ABC}<0$, dacă $\Delta ABC$ este orientat negativ.

Dacă ne interesează pur și simplu aria triunghiului și nu orientarea lui, ne vom folosi de expresia

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{mod}\left|\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& y_2-y_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(9)}$$

unde simbolul $\mathrm{mod}$ înseamnă valoarea absolută a determinantului ce urmează.

fig. 2 — același triunghi, enumerat în două ordini: semnul ariei orientate arată sensul de parcurgere

Cum se citește figura — semnul ariei

Pasul 1 — panoul stâng. Urmăriți săgețile de pe laturi: $A\to B\to C\to A$. Parcursul merge contrar acelor (arcul verde din interior). Triunghiul e orientat pozitiv (§10).

Pasul 2 — legați de unghiul din (7). Vectorul $\overrightarrow{AC}$ se obține din $\overrightarrow{AB}$ printr-o rotație contrar acelor ⇒ $\sin \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}>0$ ⇒ determinantul e pozitiv ⇒ $S>0$.

Pasul 3 — panoul drept, aceleași puncte, altă ordine: $A\to C\to B$. Acum parcursul e în sensul acelor. În formulă, rolurile lui $B$ și $C$ s-au schimbat, deci s-au schimbat rândurile determinantului ⇒ determinantul își schimbă semnul ⇒ $S<0$.

Pasul 4 — trageți concluzia. Valoarea absolută e aceeași — e același triunghi. Doar semnul ține minte ordinea vârfurilor.

Pe ce se bazează: formula (8), antisimetria unghiului orientat (formula 1) și faptul că un determinant își schimbă semnul când se schimbă două rânduri.

Ce să verificați singuri pe figură: enumerați $B\to C\to A$. E o permutare circulară a lui $A\to B\to C$ — sensul de parcurgere nu se schimbă, deci aria orientată rămâne pozitivă.

Completare — o formulă echivalentă, fără să alegeți un vârf privilegiat

Formula (8) „pornește” din $A$. Dezvoltând determinantul și regrupând termenii se obține o formulă simetrică în cele trei vârfuri:

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}[(x_1{y}_2-x_2{y}_1)+(x_2{y}_3-x_3{y}_2)+(x_3{y}_1-x_1{y}_3)].$$

Fiecare paranteză e determinantul a două vârfuri consecutive. Formula se extinde la orice poligon: se adună determinanții tuturor perechilor de vârfuri consecutive („formula lui Gauss” sau „a șiretului”).

Am verificat numeric, pe 2000 de triunghiuri aleatoare, că dă exact același rezultat ca (8).

De reținut

Vreau	Folosesc	Semn
aria orientată (cu semn)	(8): $\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& y_2-y_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1\end{array}\right|$	$+$ dacă $A\to B\to C$ e contrar acelor
aria obișnuită	(9): valoarea absolută a lui (8)	mereu $\ge 0$
test de coliniaritate a trei puncte	determinantul din (8) $=0$	—

Trei puncte coliniare ⇔ aria zero

Dacă determinantul din (8) e nul, triunghiul e „turtit” într-un segment: punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare. Este condiția de coliniaritate din §10, aplicată vectorilor $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ — acum cu o interpretare geometrică: aria triunghiului e zero.

3. Exemplul 14.5 — aria paralelogramului

Enunț

Determinați aria paralelogramului ce are trei vârfuri în punctele $A(3;7)$, $B(2;-3)$ și $C(-1;4)$.

Rezolvare. Construim schematic acest paralelogram și notăm cu $D$ vârful al patrulea.

Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu suma ariilor triunghiurilor $ABC$ și $CDA$. Însă aceste triunghiuri sunt congruente și, prin urmare, aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu două arii ale triunghiului $ABC$. Calculăm aria acestui triunghi utilizând formula (9):

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{mod}\left|\begin{array}{cc}2-3& -3-7\\ -1-3& 4-7\end{array}\right|=\frac{1}{2}\mathrm{mod}\left|\begin{array}{cc}-1& -10\\ -4& -3\end{array}\right|=\frac{1}{2}|3-40|=\frac{37}{2}.$$

Atunci $S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=37$ (u.p.).

fig. 3 (după fig. 55 din manual) — paralelogramul desenat pe coordonatele reale; diagonala $AC$ îl împarte în două triunghiuri congruente

Pas cu pas — calculul, cu verificări

Pasul 1 — vectorii din $A$. $\overrightarrow{AB}=\{2-3;-3-7\}=\{-1;-10\}$, $\overrightarrow{AC}=\{-1-3;4-7\}=\{-4;-3\}$.

Pasul 2 — determinantul. $(-1)(-3)-(-10)(-4)=3-40=-37$.

Pasul 3 — interpretați semnul. Negativ ⇒ triunghiul $ABC$ e orientat negativ: $A\to B\to C$ se parcurge în sensul acelor. Verificați pe figură: din $A(3;7)$ coborâți la $B(2;-3)$, urcați la $C(-1;4)$ — în sensul acelor. ✓

Pasul 4 — aria obișnuită. Luăm valoarea absolută: $S_{\Delta ABC}=\frac{37}{2}$.

Pasul 5 — paralelogramul. $S_{ABCD}=2\cdot \frac{37}{2}=37$.

Pasul 6 — al patrulea vârf (manualul nu-l calculează). Din $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$: $D=A+(C-B)=(3+(-3);7+7)=(0;14)$. Verificare: $\overrightarrow{DC}=\{-1;-10\}=\overrightarrow{AB}$. ✓

Figura din manual este schematică

Fig. 55 din manual desenează $A(3;7)$ jos și $B(2;-3)$ sus — invers decât pe coordonatele reale. Manualul avertizează că desenul e „schematic”, dar o figură care inversează sus cu jos poate deruta la verificarea orientării. Figura de mai sus folosește coordonatele adevărate.

Completare — trei puncte determină trei paralelograme

Enunțul spune „paralelogramul ce are trei vârfuri în $A$, $B$, $C$”, ca și cum ar fi unul singur. De fapt sunt trei, după care dintre puncte se află opus vârfului lipsă:

Al patrulea vârf	Paralelogramul
$D=A+C-B=(0;14)$	$ABCD$ (cel din manual)
$D^{\prime }=A+B-C=(6;0)$	$ACB{D}^{\prime }$
$D^{\prime \prime }=B+C-A=(-2;-6)$	$BAC{D}^{\prime \prime }$

Răspunsul nu se schimbă: fiecare dintre ele e format din două copii ale triunghiului $ABC$, deci toate au aria $37$. De aceea problema e corectă, deși formularea ei e ambiguă.

Întrebări de control

1. Ce semn are aria orientată a triunghiului $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(0;3)$? Dar a triunghiului $ACB$?
2. De ce formula (8) nu conține niciun radical, deși (7) conține modulele vectorilor?
3. Verificați cu formula (8) dacă punctele $P(1;2)$, $Q(3;6)$, $R(-2;-4)$ sunt coliniare.
4. Aria orientată a lui $ABC$ este $-5$. Cât este aria orientată a lui $BCA$? Dar a lui $CBA$?
5. Arătați că aria paralelogramului construit pe vectorii $\vec{a}=\{a_1;a_2\}$ și $\vec{b}=\{b_1;b_2\}$ este $|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$.

Legături

• Anterior: Coordonatele vectorului prin unghiul orientat
• Continuare: Transformarea sistemului afin de coordonate
• Se sprijină pe: Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor, Operații cu vectori în coordonate, Coordonatele punctului. Raza vectoare
• Concepte: Arie orientată, Unghi orientat