Ecuația în segmente, cu coeficient unghiular și parametrică

Despre ce este lecția

Aceeași dreaptă se poate scrie în mai multe feluri. Fiecare formă pune în evidență altă informație: unde taie axele (ecuația în segmente), cât de înclinată e (coeficientul unghiular), cum se parcurge (ecuațiile parametrice). Nu sunt ecuații diferite ale unor drepte diferite — sunt limbaje diferite pentru același obiect, alese după ce vrem să citim din ele.

1. 3⁰. Ecuația dreptei în segmente

Fie în plan este introdus un sistem afin de coordonate $O{\vec{e}}_1{\vec{e}}_2$, iar dreapta $d$ intersectează axele de coordonate în punctele $A(a;0)$ și $B(0;b)$, unde $a\ne 0$ și $b\ne 0$. Să deducem ecuația dreptei $AB$:

$$\frac{x-a}{0-a}=\frac{y}{b}\text{sau}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Ecuația în segmente

Ecuația (3) se numește ecuația dreptei în segmente.

fig. 1 (după fig. 77 din manual) — $a$ și $b$ sunt „segmentele” pe care dreapta le taie pe axe, de la origine

Cum se citește figura — ecuația în segmente

Pasul 1 — cele două puncte de intersecție. $A$ pe axa $(Ox)$: a doua coordonată e $0$. $B$ pe axa $(Oy)$: prima coordonată e $0$.

Pasul 2 — segmentele. $a$ (portocaliu) e distanța cu semn de la $O$ la $A$, măsurată în unități ${\vec{e}}_1$; $b$ (verde) — de la $O$ la $B$, în unități ${\vec{e}}_2$. Dacă $A$ ar fi la stânga lui $O$, $a$ ar fi negativ.

Pasul 3 — ecuația prin două puncte. Aplicând (2′) lui $A(a;0)$ și $B(0;b)$ se obține $\frac{x-a}{-a}=\frac{y}{b}$.

Pasul 4 — simplificați. $\frac{x-a}{-a}=-\frac{x}{a}+1$, deci $-\frac{x}{a}+1=\frac{y}{b}$, adică $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Pe ce se bazează: ecuația (2′) a dreptei prin două puncte.

Ce să verificați singuri pe figură: puneți $y=0$ în (3): rezultă $x=a$ — punctul $A$. Puneți $x=0$: rezultă $y=b$ — punctul $B$. Ecuația „se citește” direct de pe desen.

Ecuația în segmente nu există pentru orice dreaptă

Condițiile $a\ne 0$, $b\ne 0$ exclud trei feluri de drepte:

• dreptele prin origine ($A=B=O$, segmentele sunt nule);
• dreptele paralele cu $(Ox)$ (nu taie axa $Ox$, $a$ nu există);
• dreptele paralele cu $(Oy)$ (nu taie axa $Oy$, $b$ nu există).

Exemplu. Dreapta din exemplul 20.2, $7x+5y+11=0$, se scrie $7x+5y=-11$, adică $\frac{x}{-11/7}+\frac{y}{-11/5}=1$: taie axele în $\left(-\frac{11}{7};0\right)$ și $\left(0;-\frac{11}{5}\right)$. Dar $x+y=0$ nu are formă în segmente.

2. 4. Ecuația dreptei cu coeficient unghiular

Fie în plan este introdus un sistem afin de coordonate $O{\vec{e}}_1{\vec{e}}_2$ și o dreaptă $d$ intersectează axa ordonatelor. Dacă $\vec{a}\{a_1;a_2\}$ este un vector director al dreptei $d$, atunci vectorii $\vec{a}$ și ${\vec{e}}_2$ nu-s coliniari și prin urmare, $a_1\ne 0$.

Coeficientul unghiular

Numărul $k=\frac{a_2}{a_1}$ se numește coeficient unghiular al dreptei $d$.

Acest coeficient nu depinde de vectorul director ales. Într-adevăr, dacă $\vec{b}\{b_1;b_2\}$ este un alt vector director al dreptei $d$, atunci $\vec{a}\parallel \vec{b}$ și prin urmare coordonatele acestor vectori sunt proporționale: $a_1=\lambda b_1$, $a_2=\lambda b_2$. Deoarece $a_1\ne 0$, $b_1\ne 0$, obținem

$$\frac{a_2}{a_1}=\frac{\lambda b_2}{\lambda b_1}=\frac{b_2}{b_1}.$$

Pas cu pas — de ce dreapta trebuie să taie axa $(Oy)$

Pasul 1 — ce cere definiția. $k=a_2/a_1$ are nevoie de $a_1\ne 0$.

Pasul 2 — când e $a_1=0$. Atunci $\vec{a}=\{0;a_2\}=a_2{\vec{e}}_2$, adică $\vec{a}$ e coliniar cu ${\vec{e}}_2$: dreapta e paralelă cu axa $(Oy)$.

Pasul 3 — legătura cu enunțul. O dreaptă paralelă cu $(Oy)$ (și diferită de ea) nu taie axa $(Oy)$. Deci „$d$ intersectează axa ordonatelor” e exact condiția $a_1\ne 0$ — cu o singură excepție: axa $(Oy)$ însăși, care și ea are $a_1=0$.

Concluzie. Dreptele verticale (paralele cu $Oy$) nu au coeficient unghiular. Toate celelalte au.

Sensul geometric al lui $k$

Coeficientul unghiular $k$ al dreptei are un sens geometric bine determinat, dacă dreapta $d$ este dată într-un sistem rectangular cartezian de coordonate. În acest caz coeficientul unghiular $k$ ne reprezintă tangenta unghiului dintre axa $(Ox)$ și dreapta dată.

Într-adevăr, fie $\vec{a}\{a_1;a_2\}$ un vector director al dreptei $d$. Atunci $a_1=|\vec{a}|\cos \phi$ și $a_2=|\vec{a}|\sin \phi$, unde $\phi =\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. Atunci

$$k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{|\vec{a}|\sin \phi }{|\vec{a}|\cos \phi }=\mathrm{tg}\phi .$$

Prin urmare, numărul $k$ permite de aflat unghiul orientat $\phi =\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. Din această cauză numărul $k$ se numește coeficientul unghiular al dreptei.

fig. 2 (după fig. 78 din manual) — $k$ e raportul dintre „cât urcă” și „cât înaintează” vectorul director: tangenta unghiului cu $(Ox)$

Cum se citește figura — $k=\mathrm{tg}\phi$

Pasul 1 — vectorul director $\vec{a}$ (portocaliu), pe dreaptă.

Pasul 2 — descompuneți-l într-o deplasare orizontală (albastru, $a_1$) și una verticală (verde, $a_2$). Unghiul drept arată că axele sunt perpendiculare — aici e nevoie de sistem rectangular.

Pasul 3 — citiți raportul. În triunghiul dreptunghic, $a_2/a_1$ = cateta opusă / cateta alăturată unghiului $\phi$ = $\mathrm{tg}\phi$.

Pasul 4 — schimbați vectorul director. $-\vec{a}$ (roșu, punctat) face cu $(Ox)$ unghiul $\phi +180°$. Dar $\mathrm{tg}(\phi +180°)=\mathrm{tg}\phi$: același $k$. De aceea $k$ e o proprietate a dreptei, nu a vectorului ales.

Pe ce se bazează: teorema 14.1 ($a_1=|\vec{a}|\cos \phi$, $a_2=|\vec{a}|\sin \phi$).

Ce să verificați singuri pe figură: o dreaptă care coboară spre dreapta are $k<0$; una orizontală are $k=0$.

$k$ dă direcția dreptei, nu unghiul orientat al unui vector anume

Manualul spune că „$k$ permite de aflat unghiul orientat $\phi =\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$”. Nu chiar: tangenta are perioada $\pi$, deci $k$ determină $\phi$ doar până la $180°$ — exact ambiguitatea dintre $\vec{a}$ și $-\vec{a}$, ambii vectori directori ai aceleiași drepte (vezi aceeași capcană la §14, formula (6)).

Ce determină $k$ fără ambiguitate este unghiul dreptei cu axa $(Ox)$, ales de obicei în $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$: $\phi =\mathrm{arctg}k$.

Într-un sistem afin oblic, $k$ nu e o tangentă

Definiția $k=a_2/a_1$ are sens în orice sistem afin, dar interpretarea $k=\mathrm{tg}\phi$ cere $\vec{i}\perp \vec{j}$ și $|\vec{i}|=|\vec{j}|$. Cu axe oblice, $k$ rămâne un număr care caracterizează direcția, dar nu mai e tangenta unui unghi vizibil pe desen.

Ecuația cu coeficient unghiular

Să deducem ecuația dreptei, determinată într-un sistem afin de coordonate de punctul $M_0(x_0;y_0)$ și coeficientul unghiular $k$.

Fie $\vec{a}\{a_1;a_2\}$ un vector director al acestei drepte. Atunci, conform formulei (1″), ecuația dreptei are forma $a_2(x-x_0)-a_1(y-y_0)=0$. Deoarece $a_1\ne 0$, atunci împărțind la $a_1$ ambele părți, obținem:

$$y-y_0=k(x-x_0).\text{\hspace{1em}(4)}$$

Dacă în calitate de punctul $M_0(x_0;y_0)$ se ia punctul de intersecție al dreptei $d$ cu axa $(Oy)$, adică punctul $M(0;b)$, atunci obținem:

$$y=kx+b.\text{\hspace{1em}(5)}$$

Ecuația cu coeficient unghiular

Ecuația (5) se numește ecuația dreptei cu coeficient unghiular.

fig. 3 — stânga: același $k$, $b$ diferit — drepte paralele; dreapta: același $b$, $k$ diferit — drepte prin același punct al axei $(Oy)$

Cum se citește figura — rolul lui $k$ și al lui $b$

Pasul 1 — panoul stâng. Trei drepte cu $k=\frac{1}{2}$ și $b\in \{-1,5;0;1,5\}$. Aceeași înclinare ⇒ paralele. Fiecare taie axa $(Oy)$ în $(0;b)$ (punctele colorate).

Pasul 2 — panoul drept. Trei drepte cu $b=1$ și $k\in \{2;0,3;-1\}$. Toate trec prin $(0;1)$, cu înclinări diferite — un „evantai”.

Pasul 3 — trageți concluzia. $k$ fixează direcția, $b$ fixează locul pe axa $(Oy)$. Două numere ⇒ o dreaptă.

Pe ce se bazează: ecuația (5).

Ce să verificați singuri pe figură: ce semn are $k$ la dreapta verde din panoul drept? Coboară spre dreapta ⇒ $k<0$ ✓ ($k=-1$).

Pas cu pas — trecerea între forme pe exemplul 20.2

Dreapta: $7x+5y+11=0$.

Pasul 1 — izolați $y$. $5y=-7x-11$, deci $y=-\frac{7}{5}x-\frac{11}{5}$.

Pasul 2 — citiți. $k=-\frac{7}{5}$, $b=-\frac{11}{5}$.

Pasul 3 — verificați cu vectorul director. $\overrightarrow{AB}=\{-5;7\}$ dă $k=\frac{7}{-5}=-\frac{7}{5}$ ✓.

Pasul 4 — unghiul cu $(Ox)$ (sistem rectangular): $\mathrm{tg}\phi =-1,4$, $\phi \approx -54,5°$ — dreapta coboară.

3. 5⁰. Ecuațiile parametrice ale dreptei

Fie într-un sistem afin de coordonate $O{\vec{e}}_1{\vec{e}}_2$ dreapta $d$ este determinată de punctul $M_0(x_0;y_0)$ și vectorul director $\vec{a}(a_1;a_2)$. Punctul $M(x;y)$ aparține dreptei $d$ atunci și numai atunci, când $\overrightarrow{M_{0}M}\parallel \vec{a}$, adică dacă și numai dacă există așa număr real $t$, încât $\overrightarrow{M_{0}M}=t\vec{a}$. Deoarece $\overrightarrow{M_{0}M}=\{x-x_0;y-y_0\}$ și $t\vec{a}=\{t{a}_1;t{a}_2\}$, obținem:

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t,\\ y=y_0+a_{2}t.\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

Ecuațiile parametrice

Egalitățile (6) se numesc ecuațiile parametrice ale dreptei. Ele au următorul sens: pentru orice număr real $t$, punctul cu coordonatele $x$, $y$, care satisfac condițiilor (6), aparține dreptei $d$ și invers, dacă punctul $(x;y)$ aparține dreptei $d$, atunci există $t\in \mathbb{R}$, încât $x$ și $y$ se exprimă prin $x_0$, $y_0$, $a_1$, $a_2$ cu ajutorul egalităților (6).

fig. 4 — fiecare valoare a parametrului $t$ dă un punct al dreptei: $t$ măsoară câți vectori $\vec{a}$ te-ai deplasat de la $M_0$

Cum se citește figura — ecuațiile parametrice

Pasul 1 — punctul de plecare. $M_0$ corespunde lui $t=0$.

Pasul 2 — pașii întregi. $t=1$: un vector $\vec{a}$ mai departe. $t=2$, $t=3$: doi, trei vectori. $t=-1$: un vector în sens opus.

Pasul 3 — valori neîntregi. $t=1,6$ (verde): punctul aflat la $1,6$ vectori de $M_0$. Orice număr real dă un punct, iar punctele umplu toată dreapta, fără goluri.

Pasul 4 — interpretarea fizică. Dacă $t$ e timpul, (6) descrie un punct care pleacă din $M_0$ și se mișcă rectiliniu uniform cu viteza $\vec{a}$.

Pe ce se bazează: criteriul de coliniaritate: $\overrightarrow{M_{0}M}\parallel \vec{a}⟺\overrightarrow{M_{0}M}=t\vec{a}$ (cu $\vec{a}\ne \vec{0}$).

Ce să verificați singuri pe figură: eliminați $t$ din (6): din prima ecuație $t=\frac{x-x_0}{a_1}$, din a doua $t=\frac{y-y_0}{a_2}$. Egalându-le, obțineți ecuația canonică (1′).

Pas cu pas — un exemplu numeric

Dreapta prin $M_0(1;2)$ cu $\vec{a}=\{2;1\}$: $x=1+2t$, $y=2+t$.

$t$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$\frac{1}{2}$
punctul	$(-1;1)$	$(1;2)$	$(3;3)$	$(5;4)$	$(2;2,5)$

Invers — e punctul $(7;5)$ pe dreaptă? Din $x$: $7=1+2t$ ⇒ $t=3$. Din $y$: $5=2+t$ ⇒ $t=3$. Același $t$ ⇒ da. Pentru $(7;6)$ s-ar obține $t=3$ și $t=4$ — valori diferite ⇒ punctul nu e pe dreaptă.

Cele cinci forme ale ecuației dreptei (§20)

Forma	Ecuația	Ce trebuie cunoscut	Când nu există
canonică (1″)	$a_2(x-x_0)-a_1(y-y_0)=0$	un punct, un vector director	—
prin două puncte (2)	determinantul $=0$	două puncte	—
în segmente (3)	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$	intersecțiile cu axele	prin $O$; paralelă cu o axă
cu coeficient unghiular (5)	$y=kx+b$	$k$ și intersecția cu $Oy$	paralelă cu $(Oy)$
parametrică (6)	$x=x_0+a_{1}t,y=y_0+a_{2}t$	un punct, un vector director	—

Numerotarea din manual

Subsecțiunile din §20 sunt numerotate neuniform: 1⁰, 2⁰, apoi „3.” și „4.”, apoi 5⁰. Am păstrat-o ca în manual, ca trimiterile să se regăsească.

Întrebări de control

1. Scrieți în segmente dreapta $3x-4y-12=0$. Unde taie axele?
2. De ce dreptele verticale nu au coeficient unghiular, dar cele orizontale au?
3. Două drepte au același $k$. Ce puteți spune despre ele? Dar dacă au același $b$?
4. Scrieți ecuațiile parametrice ale dreptei prin $A(2;-5)$ și $B(-3;2)$. Ce valoare a lui $t$ corespunde lui $B$?
5. Arătați că $k$ nu se schimbă dacă înlocuim vectorul director $\vec{a}$ cu $-3\vec{a}$.

Legături

• Anterior: Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte
• Continuare: Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3
• Se sprijină pe: Coordonatele vectorului prin unghiul orientat, Raportul a doi vectori coliniari, Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector
• Concepte: Coeficient unghiular, Vector director, Ecuațiile dreptei