Adunarea vectorilor. Regula triunghiului și a poligonului

1. Construcția sumei

Cercetăm sistemul finit de vectori ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\dots ,{\vec{a}}_n$. Fixăm un punct arbitrar $A$ și construim vectorii

$$\overrightarrow{A{A}_1}={\vec{a}}_1,\overrightarrow{A_1{A}_2}={\vec{a}}_2,\overrightarrow{A_2{A}_3}={\vec{a}}_3,\dots ,\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}={\vec{a}}_n.$$

De ce e posibilă construcția

Fiecare pas folosește teorema reprezentantului unic: din punctul deja atins putem depune, în mod unic, următorul vector al sistemului.

În rezultat obținem o linie frântă $A{A}_1{A}_2{A}_3\dots A_{n-1}{A}_n$, formată din vectorii sistemului dat, astfel încât originea vectorului următor, începând cu al doilea, se află în extremitatea vectorului precedent (construcție „cap la cap”).

fig. 1 — linia frântă a sistemului ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3$ și suma $\vec{a}=\overrightarrow{A{A}_3}$

Definiție

Vectorul $\vec{a}=\overrightarrow{A{A}_n}$ din construcția efectuată, ce are originea în originea primului vector ${\vec{a}}_1$ și extremitatea în extremitatea ultimului vector ${\vec{a}}_n$, se numește suma vectorilor dați.

$$\vec{a}={\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2+{\vec{a}}_3+\cdots +{\vec{a}}_n,\text{sau}\vec{a}=\sum _{i=1}^n{\vec{a}}_i\text{\hspace{1em}(1)}$$

Adunarea câtorva vectori conform acestei definiții se numește regula poligonului.

2. Regula triunghiului

În particular, pentru doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ obținem din ea regula triunghiului de adunare a doi vectori.

fig. 2 — regula triunghiului: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

Regula triunghiului

Depunem $\vec{b}$ din extremitatea lui $\vec{a}$. Suma este vectorul care unește originea lui $\vec{a}$ cu extremitatea lui $\vec{b}$.

Cum se citește figura — regula triunghiului

Pasul 1 — primul termen. Săgeata albastră $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, depusă din punctul ales $A$.

Pasul 2 — al doilea termen, cap la cap. Săgeata portocalie $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ pleacă exact din vârful $B$ al primei — nu din $A$.

Pasul 3 — suma (violet). Săgeata violet închide triunghiul: pleacă din originea primului vector ($A$) și ajunge în extremitatea ultimului ($C$), deci $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$.

Pasul 4 — cele două drumuri. Parcurgeți cu degetul $A\to B\to C$, apoi direct $A\to C$: ambele drumuri pleacă și ajung în aceleași puncte.

Pe ce se bazează: teorema reprezentantului unic (depunerea lui $\vec{b}$ din $B$); definiția sumei din §1, pentru $n=2$.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) săgeata violet nu e „cap la cap” cu celelalte — are aceeași origine cu $\vec{a}$ și același vârf cu $\vec{b}$; (2) latura violet e mai scurtă decât suma lungimilor celorlalte două (inegalitatea triunghiului).

După această regulă se pot aduna atât doi vectori necoliniari (fig. 2), cât și doi vectori coliniari (fig. 3).

fig. 3 — adunarea vectorilor coliniari: la fel orientați (sus) și opus orientați (jos)

Existență și unicitate

Se poate demonstra că suma a doi vectori există și este unică. Observăm că putem la început să definim suma a doi vectori după regula triunghiului, apoi, aplicând-o consecutiv, să obținem regula poligonului. Cele două definiții sunt echivalente.

Pas cu pas — de ce suma nu depinde de punctul de plecare $A$

Definiția pare să depindă de o alegere arbitrară („fixăm un punct arbitrar $A$”). Dacă ar depinde, definiția ar fi greșită. Iată de ce nu depinde:

Pasul 1 — facem construcția de două ori. Din $A$ obținem punctele $A_1,A_2,\dots ,A_n$; din alt punct $B$ obținem $B_1,B_2,\dots ,B_n$.

Pasul 2 — primul pas al fiecărei construcții. $\overrightarrow{A{A}_1}={\vec{a}}_1=\overrightarrow{B{B}_1}$. Din regula „$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$” (afirmația din §3) rezultă $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1{B}_1}$.

Pasul 3 — repetăm. La fel, din $\overrightarrow{A_1{A}_2}={\vec{a}}_2=\overrightarrow{B_1{B}_2}$ rezultă $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{A_2{B}_2}$. Prin urmare

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{A_2{B}_2}=\cdots =\overrightarrow{A_n{B}_n}$$

Cele două linii frânte sunt „translatate” una față de alta cu unul și același vector $\overrightarrow{AB}$, la fiecare pas.

Pasul 4 — concluzia. Din $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_n{B}_n}$ rezultă $\overrightarrow{A{A}_n}=\overrightarrow{B{B}_n}$ (aceeași afirmație, aplicată invers). Deci suma obținută din $A$ și cea obținută din $B$ sunt același vector.

Morală. Ori de câte ori o definiție începe cu „alegem un punct arbitrar”, trebuie verificat că rezultatul nu depinde de alegere. Se spune că definiția este corectă (sau bine pusă).

fig. T1 — aceeași sumă, construită din $A$ și din $B$

Cum se citește figura — suma nu depinde de punctul de plecare

Pasul 1 — prima construcție (sus). Din $A$: ${\vec{a}}_1$ (albastru) până în $A_1$, apoi ${\vec{a}}_2$ (portocaliu) până în $A_2$; suma este săgeata violet $\overrightarrow{A{A}_2}$.

Pasul 2 — a doua construcție (jos). Aceiași vectori, depuși din $B$: $B\to B_1\to B_2$, cu suma violet $\overrightarrow{B{B}_2}$.

Pasul 3 — săgețile gri, de la stânga la dreapta. $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A_1{B}_1}$, $\overrightarrow{A_2{B}_2}$. Primele două sunt egale prin regula „schimbului de mijloc” aplicată lui $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}$; ultimele două — aplicată lui $\overrightarrow{A_1{A}_2}=\overrightarrow{B_1{B}_2}$.

Pasul 4 — concluzia. Din $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_2{B}_2}$, aceeași regulă dă $\overrightarrow{A{A}_2}=\overrightarrow{B{B}_2}$: cele două săgeți violet reprezintă același vector.

Pe ce se bazează: regula „schimbului de mijloc” (pașii 3–4); teorema reprezentantului unic (existența celor două linii frânte).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) cele trei săgeți gri sunt paralele și egale — fiecare pereche vecină formează un paralelogram cu o latură colorată; (2) pentru $n$ vectori, lanțul gri ar avea $n+1$ săgeți, toate egale.

3. Relația lui Chasles

Din regula triunghiului rezultă că pentru orice trei puncte $A$, $B$ și $C$, întotdeauna

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\text{\hspace{1em}(2)}$$

fig. 4 — relația (2) e valabilă și când punctele sunt coliniare

Cum se citește figura — relația lui Chasles

Pasul 1 — sus: trei puncte oarecare. $A$, $B$, $C$ formează un triunghi; $\overrightarrow{AB}$ albastru, $\overrightarrow{BC}$ portocaliu.

Pasul 2 — regula triunghiului. Săgeata violet $\overrightarrow{AC}$ unește originea primei săgeți cu vârful celei de-a doua: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Pasul 3 — jos: puncte coliniare. Aceleași trei litere, puse pe o dreaptă. Nu mai există triunghi, dar construcția „cap la cap” merge la fel: săgeata violet de dedesubt pleacă din $A$ și ajunge în $C$.

Pasul 4 — ce contează de fapt. În ambele desene contează doar ordinea literelor: litera de la finalul primului vector ($B$) este începutul celui de-al doilea.

Pe ce se bazează: regula triunghiului, pentru vectori necoliniari (sus) și coliniari (jos, ca în fig. 3).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) jos, lungimea violet este suma lungimilor albastru + portocaliu, pentru că $B$ e între $A$ și $C$; (2) imaginați-vă $B$ dincolo de $C$: portocaliul s-ar întoarce spre stânga, violetul ar avea diferența lungimilor — relația rămâne adevărată.

Nu e nevoie de niciun triunghi

Relația (2) nu cere ca $A$, $B$, $C$ să formeze un triunghi: ele pot fi coliniare sau chiar confundate. Aceasta o face instrumentul de bază în calculele cu vectori — orice vector $\overrightarrow{AC}$ poate fi „spart” printr-un punct intermediar oarecare.

Consecința 1 — vectorul nul este element neutru

În particular din (2) obținem $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$, prin urmare

$$\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\text{\hspace{1em}(3)}$$

fig. T2 — consecința 1: relația (2) cu două puncte confundate

Cum se citește figura — consecința 1 (elementul neutru)

Pasul 1 — stânga: $C$ coincide cu $B$. În relația (2) al doilea termen devine $\overrightarrow{BB}$ — un segment orientat nul, desenat ca cerc portocaliu gol în $B$.

Pasul 2 — citim stânga. Săgeata albastră $\overrightarrow{AB}$ și săgeata violet $\overrightarrow{AC}$ au aceleași capete (violetul e decalat doar ca să se vadă): $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{AB}$, adică $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$.

Pasul 3 — dreapta: $B$ coincide cu $A$. Acum primul termen $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AA}$ este nul: cercul gol stă în $A$, iar săgeata albastră $\overrightarrow{BC}$ pleacă din același punct.

Pasul 4 — citim dreapta. $\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}$, adică $\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$. În textul de mai sus aceeași relație apare ca $\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$ — doar capătul are altă literă.

Pe ce se bazează: relația lui Chasles (2), valabilă și pentru puncte confundate; vectorul nul ca segment orientat $\overline{AA}$.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) în ambele panouri, săgeata violet are aceleași capete ca cea albastră; (2) „adăugarea” cercului gol nu mută vârful drumului — exact asta înseamnă element neutru.

Consecința 2 — existența vectorului opus

Tot din (2) obținem $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}$ și $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}$. Deoarece $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$, am demonstrat: pentru orice vector $\vec{a}$ există vectorul opus $-\vec{a}$, astfel încât

$$\vec{a}+(-\vec{a})=-\vec{a}+\vec{a}=\vec{0}\text{\hspace{1em}(4)}$$

fig. 5 — pornim din $A$ și ne întoarcem în $A$: deplasarea totală este vectorul nul

Cum se citește figura — consecința 2 (vectorul opus)

Pasul 1 — dus. Săgeata albastră $\overrightarrow{AB}$ duce din $A$ în $B$.

Pasul 2 — întors. Săgeata portocalie $\overrightarrow{BA}$ pleacă din vârful $B$ și revine în $A$ — cap la cap, ca în regula triunghiului. Cele două săgeți stau pe aceeași dreaptă; sunt desenate decalat, iar liniile gri verticale arată că au aceleași capete.

Pasul 3 — suma. Originea primului vector și vârful ultimului sunt același punct $A$, deci suma este $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.

Pasul 4 — concluzia. $\overrightarrow{BA}$ este vectorul care, adunat cu $\overrightarrow{AB}$, dă $\vec{0}$ — adică opusul: $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$.

Pe ce se bazează: relația lui Chasles cu $C=A$; definiția vectorului opus.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) cele două săgeți au aceeași lungime și sensuri contrare; (2) inversați ordinea — întâi portocaliu, apoi albastru: drumul pleacă din $B$ și revine în $B$, tot $\vec{0}$.

Completare — linia frântă închisă

Generalizarea consecinței 2: dacă linia frântă se închide (adică $A_n=A$), atunci

$${\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2+\cdots +{\vec{a}}_n=\vec{0}.$$

De exemplu, în orice triunghi $ABC$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$.

Întrebări de control

1. De ce suma nu depinde de punctul $A$ ales la începutul construcției?
2. Ce devine regula poligonului pentru $n=2$?
3. Poate suma a doi vectori nenuli să fie vectorul nul? Dar suma a trei?
4. Scrieți $\overrightarrow{MN}$ ca sumă de doi vectori care trec prin punctul $P$.
5. În paralelogramul $ABCD$, calculați $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$.

Legături

• Anterior: Vectori aplicați, alunecători și liberi
• Continuare: Regula paralelogramului
• Vezi și: Proprietățile adunării vectorilor, Scăderea vectorilor